题解 P1962 【斐波那契数列】

感觉这道题现有的题解写的有点麻烦，解释不是非常清楚，所以这篇题解诞生了。 （本题解部分内容同步发表在 [OI-Wiki](https://oi-wiki.org/math/matrix/)） --- ## 前置知识：矩阵乘法 设 $A$ 为 $P \times M$ 的矩阵，$B$ 为 $M \times Q$ 的矩阵，设矩阵 $C$ 为矩阵 $A$ 与 $B$ 的乘积， 其中矩阵 $C$ 中的第 $i$ 行第 $j$ 列元素可以表示为： $$ C_{i,j} = \sum_{k=1}^MA_{i,k}B_{k,j} $$ 如果没看懂上面的式子，没关系。通俗的讲，在矩阵乘法中，结果 $C$ 矩阵的第 $i$ 行第 $j$ 列的数，就是由矩阵 $A$ 第 $i$ 行 $M$ 个数与矩阵 $B$ 第 $j$ 列 $M$ 个数分别相乘再相加得到的。 --- ## 本题文字题解 斐波那契数列（Fibonacci Sequence）大家应该都非常的熟悉了。在斐波那契数列当中，$F_1 = F_2 = 1$，$F_i = F_{i - 1} + F_{i - 2}(i \geq 3)$。 如果有一道题目让你求斐波那契数列第 $n$ 项的值，最简单的方法莫过于直接递推了。但是如果 $n$ 的范围达到了 $10^{18}$ 级别，递推就不行了，稳 TLE。考虑矩阵加速递推。 设 $Fib(n)$ 表示一个 $1 \times 2$ 的矩阵 $\left[ \begin{array}{ccc}F_n & F_{n-1} \end{array}\right]$。我们希望根据 $Fib(n-1)=\left[ \begin{array}{ccc}F_{n-1} & F_{n-2} \end{array}\right]$ 推出 $Fib(n)$。 试推导一个矩阵 $\text{base}$，使 $Fib(n-1) \times \text{base} = Fib(n)$，即 $\left[\begin{array}{ccc}F_{n-1} & F_{n-2}\end{array}\right] \times \text{base} = \left[ \begin{array}{ccc}F_n & F_{n-1} \end{array}\right]$。 怎么推呢？因为 $F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$，所以 $\text{base}$ 矩阵第一列应该是 $\left[\begin{array}{ccc} 1 \\ 1 \end{array}\right]$，这样在进行矩阵乘法运算的时候才能令 $F_{n-1}$ 与 $F_{n-2}$ 相加，从而得出 $F_n$。同理，为了得出 $F_{n-1}$，矩阵 $\text{base}$ 的第二列应该为 $\left[\begin{array}{ccc} 1 \\ 0 \end{array}\right]$。 综上所述：$\text{base} = \left[\begin{array}{ccc} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right]$ ，原式化为 $\left[\begin{array}{ccc}F_{n-1} & F_{n-2}\end{array}\right] \times \left[\begin{array}{ccc} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right] = \left[ \begin{array}{ccc}F_n & F_{n-1} \end{array}\right]$ 转化为代码，应该怎么求呢？ 定义初始矩阵 $\text{ans} = \left[\begin{array}{ccc}F_2 & F_1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1 & 1\end{array}\right], \text{base} = \left[\begin{array}{ccc} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right]$。那么，$F_n$ 就等于 $\text{ans} \times \text{base}^{n-2}$ 这个矩阵的第一行第一列元素，也就是 $\left[\begin{array}{ccc}1 & 1\end{array}\right] \times \left[\begin{array}{ccc} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right]^{n-2}$ 的第一行第一列元素。 注意，矩阵乘法不满足交换律，所以一定不能写成 $\left[\begin{array}{ccc} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right]^{n-2} \times \left[\begin{array}{ccc}1 & 1\end{array}\right]$ 的第一行第一列元素。另外，对于 $n \leq 2$ 的情况，直接输出 $1$ 即可，不需要执行矩阵快速幂。 为什么要乘上 $\text{base}$ 矩阵的 $n-2$ 次方而不是 $n$ 次方呢？因为 $F_1, F_2$ 是不需要进行矩阵乘法就能求的。也就是说，如果只进行一次乘法，就已经求出 $F_3$ 了。如果还不是很理解为什么幂是 $n-2$，建议手算一下。 下面是求斐波那契数列第 $n$ 项对 $10^9+7$ 取模的示例代码（核心部分）。 ## 示例代码（核心部分） ```cpp const int mod = 1000000007; struct Matrix { int a[3][3]; Matrix() { memset(a, 0, sizeof a); } // 构造函数，矩阵初始化全零 Matrix operator*(const Matrix &b) const { Matrix res; for (int i = 1; i <= 2; ++i) for (int j = 1; j <= 2; ++j) for (int k = 1; k <= 2; ++k) res.a[i][j] = (res.a[i][j] + a[i][k] * b.a[k][j]) % mod; return res; } } ans, base; void init() { // 初始化 ans、base 矩阵 base.a[1][1] = base.a[1][2] = base.a[2][1] = 1; ans.a[1][1] = ans.a[1][2] = 1; } void qpow(int b) { // 求 while (b) { if (b & 1) ans = ans * base; base = base * base; b >>= 1; } } int main() { int n = read(); if (n <= 2) return puts("1"), 0; init(); qpow(n - 2); println(ans.a[1][1] % mod); } ``` --- 如还有不懂的地方，可以在评论区提出来，或者直接私信我。